砝码称重问题

Sun Apr 12 13:58:11 CST 2015 1160 思维

文章摘要一块40g的砝码碎成4小块,可凑巧的是,这4小块砝码的重量均为整数,且可以利用天平来称出1到40g的物品重量。问这4小块砝码的重量分别为多少克?

在网上看到一个有趣的问题,问题描述大概如下:商人有一块重40g的砝码,但是不小心把它摔了碎成4小块,可凑巧的是,这4小块砝码的重量均为整数,而且可以利用天平来称出1到40g的物品重量;请问这4小块砝码的重量分别为多少g?


因为使用了天平,意味着我们可以在天平左边放砝码表示减法,在天平右边放砝码表示加法,因此题目意思可以理解为让我们找出4个数字,这4个数字可以运用有限次加法和有限次减法来表示1到40的数字。

没有数学专业背景的同学是不是感觉问题似曾相识却不知从何入手?


我举个几个例子

如果让你找出两个数字用来表示1到3的数,你会选哪两个?是不是1和2?

1、2本身就可以表示数字1和2,1+2则可以表示3.


如果让你找出三个数字用来表示1到7的数,你会选哪三个?是不是1,2,4?

前一个例子中,用了1和2就可以表示1到3了,那么要表示1到7只要加上一个4就可以了。因此这三个数字是1、2、4.

1、2、4本身就可以表示数字1、2、4,1+2可以表示3,1+4可以表示5,2+4可以表示6,1+2+4可以表示7.


如果让你找出四个数字用来表示1到15的数,五个数字来表示1到31的数呢?

是不是都可以用每次上一步的结果加上某个数就可以得出当前问题的答案?

......


不难分析出,上面的例子都有规律:n=2的0次方+2的1次方+...+2的k次方。(在上面两个例子中,n分别为3和7,k为可以选择的数字个数)

换成计算机方面的知识,就是用有限位数(k)的二进制数字去表示某个十进制数值。


那么文章中的题目是否可以用同样的方法解出呢?

显然,不存在一个正整数解k使等式 40=2的0次方+2的1次方+...+2的k次方 成立。


但是我们可以进一步思考,能不能用三进制、四进制或者八进制等等来解呢?

于是我们有了这个方程式n=x的0次方+x的1次方+...+x的k次方,其中n为要表达的数字1到n中的n,x表示进制,k为x进制的位数,也就是我们可以选择的砝码数。


换上我们题目的条件,则可得方程式40=x的0次方+x的1次方+x的2次方+x的3次方

发挥我们的计算能力,解得x等于3,因此题目中的答案为4小块砝码重量分别为1g,3g,9g,27g


对我们的答案验证一下吧,

由于数字【1,3】可以用来表示1,2,3,4,那么加上数字9后的【1,3,9】则可以表示1到13的数,再加上数字27后的【1,3,9】就可以表示1到40的数字了。



1=1

2=3-1

3=3

4=4+1


5=9-3-1

6=9-3

7=9-3+1

8=9-1

9=9

10=9+1

11=9+3-1

12=9+3

13=9+3+1


14=27-9-3-1

15=27-9-3

16=27-9-3+1

17=27-9-1

18=27-9

19=27-9+1

20=27-9-1+3

...

打赏
打赏

分享到: